Limite de fonctions et opérations sur les limites : cours de maths en terminale S

cours maths terminale

Les tableaux ci-dessous résument les résultats à connaître.

Ces tableaux sont valables dans les trois situations étudiées:

  • Lorsque la variable x\to +\infty.
  • Lorsque la variable x\to -\infty.
  • Lorsque la variable x\to a où a \in R.

Mais il va de soi que, pour les deux fonctions f et g concernées, les limites sont prises au même endroit!
Dans le cas particulier où les fonctions sont des suites numériques, on peut utiliser ces résultats en remplaçant f par (Un) et g par (Vn) avec le seul cas envisageable la variable n\to +\infty.

Les conventions utilisées dans ces tableaux, sont:
· l et l'  désignent des nombres réels ( limites finies ).
· ? indique que dans la situation concernée, on n’a pas de conclusion générale.

On dit parfois qu’il s’agit d’une « forme indéterminée » notée F.I.

Il faudra dans ces cas, mettre au point d’autres méthodes de résolution.

I. Limite d’une somme de deux fonctions

limite somme fonctions

II. Limite d’une différence de deux fonctions

Utiliser : f – g = f + (-g) et le tableau précédent.

III. Limite d’un produit de deux fonctions

limite produit fonctions

IV. Limite de l’inverse d’une fonction

Dans le tableau ci-dessous, la limite de f égale à 0^+ , signifie, qu’à l’endroit où la limite est prise, cette limite est zéro et que, pour tout x suffisamment proche de cet endroit, on a f(x) > 0.
Définition analogue pour 0^- , mais avec f(x) < 0.

limite inverse fonction

V. Limite d’un quotient de deux fonctions

On peut utiliser: \frac{f}{g}=f\times   \frac{1}{g} et avec les deux tableaux précédents, il est possible de conclure.

En + \infty ou en – \infty , la limite d’une fonction rationnelle est la limite du quotient des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur.

On peut aussi retenir les résultats suivants :

limite quotient fonction

Ce tableau est simplifié: ± \infty signifie + \infty ou bien – \infty .

Pour décider, on applique la règle du signe du quotient selon les signes de f et de g au voisinage de l’endroit où la limite est cherchée.

VI. Limite des fonctions de références.

limites fonction référence

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