Trigonométrie et relations métriques : cours en 1ère en PDF.

La trigonométrie avec un cours de maths en 1ère reposant aussi sur les relations métriques dans un triangle quelconque. Parmi celles-ci, vous avez les relations d’Al-Kashi, théorème de Pythagore généralisé. Cette leçon est à télécharger gratuitement au format PDF.

I. Les fonctions de la trigonométrie

Dans cette leçon, $(O,\vec{u},\vec{v})$ est un repère orthonormal de sens direct.

Les points A et B sont donc sur le cercle trigonométrique de centre O et de rayon 1.

1.Définition du sinus et du cosinus d’un nombre réel.

Définition :

A tout réel $\alpha$ , on associe le point M du cercle trigonométrique tel que l’angle orienté $(\vec{u},\vec{OM})$ mesure $\alpha$ radian(s).

Le cosinus et le sinus de $\alpha$ sont donc les coordonnées de M dans le repère $(O,\vec{u},\vec{v})$ .

On a: $M(cos\alpha ,sin \alpha )$ c’est à dire : $\vec{OM}=cos\alpha \vec{u}+sin\alpha \vec{ v}$ .

2.Premières propriétés en trigonométrie .

Propriétés :

Si $\alpha$ =0 alors le point du cercle trigonométrique associé à $\alpha$ est le point A(1 ; 0). Donc cos(0) = 1 et sin(0) = 0

Si $\alpha =\frac{\pi}{2}$ , alors le point du cercle trigonométrique associé à $\alpha$ est B(0 ; 1).Donc $cos(\frac{\pi}{2})=0$ et $sin(\frac{\pi}{2})=1$ .

Si $\alpha =\pi$ , alors x est associé à A'(-1 ;0). Donc $cos( \pi )=-1$ et $sin( \pi )=0$ .

Si $\alpha =-\frac{\pi}{2}$ alors $\alpha$ est associé à B'(0 ;-1). Donc $cos(-\frac{\pi}{2})=0$ et $sin(-\frac{\pi}{2})=-1$ .

Si $\alpha$ est un réel alors pour tout entier relatif k, les réels $\alpha$ et $\alpha +2k\pi$ sont associés au même point M.
En effet ce sont deux mesures de l’angle orienté .
Donc, pour tout nombre réel x et tout entier relatif k, on a:

$cos( \alpha +2k\pi) = cox( \alpha )$

$sin( \alpha +2k\pi) = sin( \alpha )$

On dit que les fonctions cosinus et sinus sont périodiques de période $2\pi$ , car T = $2\pi$ est le plus petit réel strictement positif tel que: cos ( $\alpha$ + T) = cos $\alpha$ et sin ( $\alpha$ + T) = sin $\alpha$ .

Le théorème de Pythagore permet de prouver l’égalité:
$(sin \alpha )^2 + (cos \alpha)^2 = 1$ que l’on écrit aussi sous la forme: $sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1$ .