Dérivée : cours de maths en 1ère à télécharger en PDF.

La dérivée d’une fonction à travers un cours de maths en 1ère à assimiler.

Cette leçon fait intervenir les notions suivantes :

– définition de la dérivée en un point;

– aspect graphique de la dérivée;

– taux d’accroissement;

– dérivée d’une fonction usuelle;

– dérivée d’une somme;

– dérivée d’un produit;

– dérivée d’un quotient.

Ce document a été rédigé par un enseignant de l’éducation nationale.

I. Nombre dérivé et dérivée d’une fonction

f est une fonction définie sur un intervalle I.

La courbe (C) ci-dessous est la représentation graphique de f dans un repère orthonormal $(O,\vec{i},\vec{j})$ .

M et N sont deux points de (C) d’abscisses respectives $a\in I$ et $x = a + h \in I$ où $h\in \mathbb{R}^*$ .

Définition 1

Si f est une fonction définie sur un intervalle I et si $a\in I$ .
Lorsqu’il existe un nombre réel d tel que, pour tout réel h proche de 0, on ait:

$\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=d$

On dit que la fonction f est dérivable en a et que d = f ‘(a) est le nombre dérivé de f en a.

Définition 2

Si f est une fonction définie sur un intervalle I et si a $\in$ I.
Lorsqu’il existe un nombre réel d tel que, pour tout réel x $\in$ I et proche de a, on ait:

$\lim_{x \rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=d$

On dit que la fonction f est dérivable en a et que d = f ‘(a) est le nombre dérivé de f en a.

II. Fonction dérivable sur un intervalle I

Définition :

On dit que f est dérivable sur un intervalle I lorsqu’elle est dérivable en tout point de I

Remarques sur les notations et les « manies des physiciens »

Les physiciens expriment la différence h = x – a par la le symbole $\Delta x$ (accroissement de la variable x au voisinage du point a) et la différence f(x) – f(a) par $\Delta y$ ( accroissement correspondant entre les images de x et de a qu’ils assimilent aux ordonnées y).

Avec ces notations, ils écrivent alors au voisinage de a: $\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{ \Delta y}{\Delta x }=f'(a)$ .

De façon générale, sur un intervalle I, en notant « y » la fonction « f », la fonction dérivée de y sera notée: $f'=\frac{dy}{dx}$ .

Historiquement, la notation $f '(x)$ est due à Newton et la notation différentielle $\frac{dy}{dx}$ provient de Leibniz.

III. Equation de la tangente et approximation affine de f au voisinage de x = a

En reprenant les données du début de la leçon et l’illustration graphique et en supposant que la fonction f est dérivable en a:
La tangente (MP) à la courbe (C) en M d’abscisse a existe.Elle a pour coefficient directeur m = f ‘(a).Son équation est donc de la forme: y = mx + p, où m = f ‘(a) et son ordonnée à l’origine p est à calculer.
Pour cela, il suffit d’écrire que (MP) passe par M( a ; f(a) ).On a donc: $f(a) = f '(a) \times a + p$ .
Ceci donne: $p = f(a) - a f '(a)$ .

Donc y = f ‘(a) x + f(a) – a f ‘(a) que l’on écrit souvent sous l’une des formes, plus faciles à retenir:

$\mathbf{y = f '(a) (x-a) + f(a) }$ ou $\mathbf{y - f(a) = f '(a) (x-a)}$ .

Donc, la tangente (MP) à la courbe (C) en M est la représentation graphique de la fonction affine g:

$g:x \mapsto f'(a)(x-a)+f(a)$

Montrons que cette fonction affine est une approximation de la fonction f lorsque x est proche de a.
En effet, l’ordonnée du point P d’abscisse x = a + h est: $g(x) = f '(a) (x-a) + f(a)$ .

Elle s’écrit aussi: $g(a + h) = f '(a) (a + h - a) + f(a)$ , c’est à dire: $g(a + h) = f(a) + h f '(a)$ .

Or, f(a+h) = f(a) + h f ‘(a) + h $\varphi$ (h) avec $\lim_{h \rightarrow 0}\varphi (h)= 0$ .

On en déduit que, lorsque h est voisin de zéro, on a: f(a+h) $\approx$ f(a) + h f ‘(a).

On peut donc conclure que, lorsque x est voisin de a, la fonction affine $g:x \mapsto f'(a)(x-a)+f(a)$ est une approximation de la fonction .

On peut même montrer, mais nous l’admettrons ici, que c’est la meilleure approximation affine de f au voisinage de a.