Fonction exponentielle : cours de maths en 1ère en PDF.

La fonction exponentielle à travers un cours de maths en 1ère sur ses propriétés et sa définition. Nous étudierons sa fonction dérivée, sa courbe représentative et ses variations.Ainsi que, ses limites aux bornes de son ensemble de définition.

I. Définition et variations de la fonction exponentielle.

Définition :

Soit $a$ un réel strictement positif.

Une fonction f définie pour tout réel $x\in [0;+\infty[$ par $f(x)=a^x$ est une fonction exponentielle.

Propriété :

Une fonction exponentielle f définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=a^x$ avec $a$ >0 est :

strictement croissante sur $[0;+\infty[$ si, et seulement si, $a$ >1;
strictement décroissante sur $[0;+\infty[$ si, et seulement si, 0 < $a$ < 1;
constante sur $[0;+\infty[$ si, et seulement si, $a$ = 1.

courbe de la fonction exponentielle

II. Les propriétés algébriques de la fonction exponentielle.

Propriétés :

Pour tous réels positifs $x$ et $y$ et pour tous réels strictement positifs $a$ et $b$ , on a :

$a^x\times a^y=a^{x+y}$ ;
$\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}$ ;
$(a^x)^y=a^{x\times y}$ ;
$a^x\times b^x=(a\times b)^x$ ;
$\frac{a^x}{b^x}=\left ( \frac{a}{b} \right )^x$ .

Propriété : cas de la puissance $\frac{1}{n}$ .

Soient $a$ et $x$ deux nombres réels strictement positifs et $n$ un nombre entier non nul.

L’équation $x^n=a$ admet comme unique solution positive le réel $x=\sqrt[n]{a}$ = $a^{\frac{1}{n}}$ appelée racine n-ième de $a$ .

Propriété :

Si une grandeur subit une évolution de taux $t$ , alors elle atteint la même valeur en subissant $n$ évolutions successives de même taux $(1+t)^{\frac{1}{n}}-1$ où $n$ un nombre entier naturel non nul.

Définition:

Le nombre $(1+t)^{\frac{1}{n}}-1$ est appelé taux moyen des $n$ évolutions successives de taux global $t$ .