Ensembles de nombres, calcul numérique et littéral, cours 2de PDF

Les nombres doivent être bien distingués par les élevés de seconde. Ainsi, ce cours de maths en 2de sur les rappels des notions du collège doit être acquis.

Dans cette leçon, les objectifs seront :

Savoir distinguer la valeur exacte d’un nombre de ses valeurs approchées.
Savoir développer avec la distributivité et les identités remarquables.
Savoir utiliser $( a+b )( a-b ) =a^2 - b^2$ dans les deux sens.
Savoir démontrer la nature d’un quadrilatère.
Savoir distinguer condition nécessaire et suffisante pour les quadrilatères.
Savoir utiliser les théorèmes de Pythagore, Thalès et les propriétés des angles.

I. Nombres et ensembles de nombres

1. Ensembles de nombres

Définitions :

Un nombre est dit décimal s’il peut s’écrire comme quotient d’un entier par une puissance de 10.
Un rationnel est un nombre qui peut s’écrire comme quotient de deux entiers.
Un irrationnel est un nombre qui n’est pas rationnel.
Dans un nombre relatif, on distingue le signe (+ ou −) et la valeur absolue.

Exemple :

−3 a pour signe – et valeur absolue 3. On note |−3| = 3.

Notations :

ℕ : Ensemble des nombres entiers positifs, ou entiers naturels.

ℤ : Ensemble des nombres entiers relatifs.

$\mathbb{D}$ : Ensemble des nombres décimaux.
ℚ : Ensemble des nombres rationnels.

ℝ : Ensemble des nombres réels.

Diagramme de Venn :

On a donc les inclusions suivantes :

$\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}\subset \mathbb{C}$

Notations d’entiers :

On note souvent n un entier naturel. Le nombre suivant est donc n + 1.

Le précédent n − 1.

Les entiers pairs sont les 2k pour k ∈ ℕ et les impairs les 2k + 1 pour k∈ ℕ.

De même les multiples de 3 peuvent se noter 3k , ceux de 4 se notent 4k.

2.Les nombre rationnels et irrationnels

Pour tous ces nombres, nous ne disposons pas d’écriture décimale exacte. On ne peut donc utiliser un signe d’égalité entre et 3,141 592 653 par exemple. On note ≈ 3,141 592 653 .

Remarque :

Il est très important de distinguer la valeur exacte d’un nombre d’une valeur approchée (par excès ou par défaut) .

Ex : 3,14 < $\pi$ < 3,15 est un encadrement de $\pi$ d’amplitude 10⁻².

3. Calculer avec des racines carrées

Définition :

On appelle racine carrée d’un nombre positif a, l’unique nombre positif , noté $\sqrt{a}$ ,dont le carré est a .

c’est-à-dire pour $a\geq 0,\sqrt{a}\geq \,;\,\left ( \sqrt{a} \right )^2=a$ .

Règles de calcul :

Pour $a \geq 0;\sqrt{a^2}=a$ .
Pour $a\geq 0$ et $b\geq 0$ : $\sqrt{a\times b}=\sqrt{a}\times \sqrt{b}$ .
Pour $a\geq 0$ et $b> 0$ : $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a }}{\sqrt{b}}$ .

Attention :

$\sqrt{a+b}\neq \sqrt{a}+\sqrt{b}$ , cette égalité est en générale fausse.

Contre-exemple :

$\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$ et $\sqrt{16}+\sqrt{9}=4+3=7$ .

4.Résolution d’équation

Propriété :

L’équation $x^2=a$ possède deux solutions lorsque $a\geq 0$ : $x=\sqrt{a}$ et $x=-\sqrt{a}$ .

5.Les identités remarquables

Propriété :

Pour tous nombres réels a et b on a les égalités suivantes :

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$

6.Les quadrilatères :

Pour chaque type de quadrilatère, chaque propriété est à la fois nécessaire et suffisante : c’est une propriété caractéristique.

Propriétés :

Un quadrilatère ABCD est un parallélogramme si et seulement si :

ses côtés opposés sont de même longueur deux à deux;
ses côtés opposés sont parallèles deux à deux;
ses diagonales se coupent en leur milieu;
ses angles opposés sont égaux;
il est non croisé et deux de ses côtés opposés sont parallèles et de même longueur.

Propriétés :

Un quadrilatère ABCD est un losange si et seulement si :

ses quatre côtés sont de même longueur;
c’est un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs de même longueur;
c’est un parallélogramme qui a ses diagonales perpendiculaires.

Propriétés :

Un quadrilatère ABCD est un rectangle si et seulement si :

il a 3 angles droits
c’est un parallélogramme qui a un angle droit
c’est un parallélogramme qui a ses diagonales de même longueur

Propriétés :

Un quadrilatère ABCD est un carré si et seulement si :

- ses quatre côtés sont de même longueur et il a un angle droit;
- c’est un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs de même longueur et perpendiculaires;

c’est un parallélogramme qui a ses diagonales perpendiculaires et de même longueur.

Remarque :

Un carré est à la fois un parallélogramme, un rectangle et un losange.