EXERCICE 1 :

1.a) Comme les droites (AB) et (DC) sont parallèles, on a pour un certain .

De plus, on sait que , donc .

b) On peut exprimer comme la somme de et .

Comme ABCD est un trapèze, on a . Donc :

2)a) On sait que et .

Donc :

Comme ABCD est un trapèze, on a , donc :

Finalement, on a .

Pour placer le point E, on part de A, on avance dans la direction et on multiplie sa longueur par :

b) Les milieux de [AE] et [BD] sont respectivement M et N, tels que .

Or, on sait que et . Donc :

On veut montrer que .

On a donc :

Ce qui est vrai, car .

Donc :

3)a) On cherche x tel que . Or, on sait que et .

Donc :

On veut que , donc :

Donc, pour , le point M est le symétrique de C par rapport à D.

b) On a , donc :

Le vecteur est une combinaison linéaire de et de , qui sont tous deux fixes.

Donc le point M se déplace sur une droite. Cette droite est la parallèle à (AB) passant par le point D.

EXERCICE 2 :

1) En utilisant les relations données, on a:

On peut donc construire les points E et F en partant de A, en prenant et comme vecteurs directeurs et en ajoutant les vecteurs et respectivement.

2) Calculons le vecteur :

On en déduit que est colinéaire à pour tout x de .

3) a) E = F si et seulement si , ce qui donne:

En développant cette équation, on obtient:

Cette équation est vérifiée si et seulement si les coefficients des vecteurs et sont tous deux nuls, c’est-à-dire:

et

Donc E = F si et seulement si .

b) BCFE est un parallélogramme si et seulement si .

Or,

Donc si et seulement si:

ce qui est équivalent à:

Cette équation est vérifiée si et seulement si le triangle ABC est équilatéral. Donc BCFE est un parallélogramme si et seulement si le triangle ABC est équilatéral.

EXERCICE 3 :

1) On a .

En utilisant les relations données, on a :

Donc

2) Si ABCD est un parallélogramme, alors et .

Donc, d’après la question précédente :

Donc est une combinaison linéaire de et , c’est-à-dire qu’il est colinéaire à si et seulement si et sont colinéaires.

Or, dans un parallélogramme, cela est toujours vrai. Donc si ABCD est un parallélogramme, MBCN est un parallélogramme.

EXERCICE 4 :

1) En remplaçant a par 0 dans les relations données, on a :

2) Calculons le vecteur :

Donc est colinéaire à .

On peut en déduire que les vecteurs et sont aussi colinéaires à , car on peut les écrire comme des combinaisons linéaires de et :

Donc SMTU est un parallélogramme, car les côtés opposés ont la même direction.

EXERCICE 5 :

1) On a , donc :

En utilisant les relations de Chasles, on a :

On peut donc construire G en traçant les vecteurs et à partir des points A et B, puis en faisant leur somme à partir du point C.

2) On a , donc :

Donc H est le milieu de [AB]. En utilisant 1), on a :

Donc G est bien le milieu de [HC].

3) En utilisant la question 1), on a :

Donc pour tout point M, .

4)

a) On a si et seulement si :

En utilisant la question 1), on peut exprimer et en fonction de , et , et en utilisant la question 2), on peut exprimer en fonction de et .

On obtient finalement :

Donc l’ensemble des points M tels que est la droite passant par les milieux des côtés AB, AC et BC.

b) Le vecteur est colinéaire à si et seulement si leur produit scalaire est nul :

En développant et en utilisant les relations de Chasles, on obtient :

Donc l’ensemble des points M tels que est colinéaire à est la droite passant par le point G et parallèle à la droite (AB).