corrige

Corrigé des exercices sur la dérivée d’une fonction en 1ère.

EXERCICE 1 :

a) La fonction f est définie sur l’ensemble des nombres réels, donc elle est dérivable sur \mathbb{R}.

Sa dérivée est f'(x) = 10x - 3.

b) La fonction g est définie sur l’ensemble des nombres réels non nuls, donc elle est dérivable sur \mathbb{R}^*. Sa dérivée est g'(x) = -\frac{1}{x^2}.

c) La fonction h est définie sur l’intervalle [0;+\infty[, donc elle est dérivable sur cet intervalle.

Sa dérivée est h'(x) = \frac{3}{2}\sqrt{x}.

d) La fonction j est définie sur \mathbb{R} - \{-\frac{2}{9} \}, donc elle est dérivable sur cet ensemble. Sa dérivée est j'(x) = \frac{25}{(9x+2)^2}.

EXERCICE 2 :

La fonction g est définie sur l’ensemble des nombres réels, donc elle est dérivable sur \mathbb{R}.

Sa dérivée est g'(x) = 5(-9x+1)^4 \times   (-9).

Simplifiée, on obtient g'(x) = -45(-9x+1)^4.

EXERCICE 3 :

Courbe et segment

Le taux de variation de f entre 2 et 5 est donné par la formule TV = \frac{f(5) - f(2)}{5 - 2}.

D’après le graphique, on a f(2) = 1etf(5) = 7.

Donc, le taux de variation de f entre 2 et 5 est TV = \frac{7-1}{5-2} = 2.

EXERCICE 4 :

Courbe et tangente

La droite passant par A(-2;1) et B(1;6) a pour coefficient directeur m = \frac{6-1}{1-(-2)} = \frac{5}{3}. Comme la droite est tangente à la courbe en A, on a f'(-2) = m = \frac{5}{3}.

EXERCICE 5 :

1. On a f(x) - f(9) = \sqrt{x}-3 - (\sqrt{9}-3) = \sqrt{x} - 6 et f(9+h) - f(9) = \sqrt{9+h} - 3 - (\sqrt{9}-3) = \sqrt{9+h} - 6.

En utilisant l’identité remarquable (a-b)(a+b) = a^2 - b^2, on peut écrire :

f(9+h) - f(9) = (\sqrt{9+h} + 3)(\sqrt{9+h}-3) = 9 + h - 9 = h

Le taux de variation de f entre 9 et 9+h est donc TV = \frac{f(9+h) - f(9)}{h} = \frac{1}{\sqrt{9+h} + 3}.

2. Comme la limite de cette expression quand h tend vers 0 est finie, la fonction f est dérivable en 9 et sa dérivée est  f'(9) = \frac{1}{\sqrt{9} + 3} = \frac{1}{6}.

EXERCICE 6 :

Parabole et tangente

On a g(3) = 6 (coordonnée y du point B).

Comme la tangente en A a pour coefficient directeur -\frac{1}{g'(3)}, on peut écrire : -\frac{1}{g'(3)} = \frac{6-1}{3-(-2)} = \frac{5}{5} = 1.

Donc, g'(3) = -1.

EXERCICE 7 :

a) On peut écrire f(x) = \frac{1}{x} + x = u(x) + v(x)  avec u(x) = \frac{1}{x} et v(x) = x.

Les fonctions u et v sont dérivables sur \mathbb{R}^* et sur \mathbb{R}, respectivement.

La fonction somme est dérivable sur \mathbb{R}^* \ {-0} et sa dérivée est (u+v)'(x) = u'(x) + v'(x) = -\frac{1}{x^2} + 1.

b) On peut écrire g(x) = -5 + \frac{1}{x^2} = u(x) + v(x) avec u(x) = -5 et v(x) = \frac{1}{x^2}.

Les fonctions u et v sont dérivables sur \mathbb{R} et sur \mathbb{R}^*, respectivement.

La fonction somme est dérivable sur \mathbb{R}^* et sa dérivée est (u+v)'(x) = u'(x) + v'(x) = 0 - \frac{2}{x^3} = -\frac{2}{x^3}.

c) On peut écrire h(x) = x^4 + x^2 = u(x) + v(x) avec u(x) = x^4 et v(x) = x^2.

Les fonctions u et v sont dérivables sur \mathbb{R} et la fonction somme est dérivable sur \mathbb{R} avec (u+v)'(x) = u'(x) + v'(x) = 4x^3 + 2x.

EXERCICE 8 :

1. L’équation de la courbe représentative de f est « y=-\frac{9}{2x^2-4x+3}».

2. Nous plaçons un point sur la courbe en x = -2.

3. Nous traçons la tangente à la courbe en ce point.

4. Le coefficient directeur de la tangente est environ 11.

5. En plaçant le point sur les différentes valeurs de x données dans le tableau de valeurs et en traçant les tangentes, on peut estimer les valeurs approchées des dérivées demandées : f'(-2) \approx 11, f'(-1) \approx -7, f'(0) \approx 5, f'(1) \approx -2, f'(2)\approx -7.

EXERCICE 9 :

Tableau de valeurs fonction et dérivée

1. Les points sont A(-2 ; 1), B(-1 ; 4), C(0 ; 5), D(1 ; 4), E(2 ; 1), F(3 ; -4), G(4 ; -13), H(5 ; -24).

2. En chacun de ces points, on trace la tangente à la courbe C_g.

3. Une allure possible de C_g est représentée ci-dessous :

Courbe à créer….

EXERCICE 10 :

Courbes de fonctions

Le coefficient directeur de la tangente à 6 (c’est-à-dire au point d’abscisse 2) est la valeur de la dérivée f'(2). En lisant sur le graphique, on a f'(2) \approx -2. Donc le coefficient directeur de la tangente à 6 est environ -2.

EXERCICE 11 :

a) La fonction f est définie pour tout x sauf 0. Donc, f est dérivable sur \mathbb{R}^* et sa dérivée est f'(x) = -\frac{5}{2x^2} - \frac{7}{2}x.

b) La fonction g est définie pour tout x sauf 0. Donc, g est dérivable sur \mathbb{R}^* et sa dérivée est g'(x) = \frac{44}{5x^2} - \frac{4}{5}.

c) La fonction h est définie pour tout x sauf 3. Donc, h est dérivable sur \mathbb{R} - \{3\} et sa dérivée est h'(x) = \frac{18x^2 - 41x + 8}{(7x - 21)^2}.

d) La fonction j est définie pour tout x sauf 0. Donc, j est dérivable sur \mathbb{R}^* et sa dérivée est j'(x) = -\frac{10}{(3x^2+2)^2}.

e) La fonction k est définie sur l’intervalle ]-∞;1[ ∪ ]1;+∞[ car le dénominateur x^2 - 6x + 5 s’annule en x = 1.

On peut factoriser x^2 - 6x + 5 en (x-1)(x-5), donc la fonction est dérivable sur cet intervalle. Sa dérivée est k'(x) = \frac{9(5 - 2x)}{(x - 1)^3 (x - 5)}.

f) La fonction m est définie pour tout x tel que 10-x > 0, c’est-à-dire sur ]-\infty ; 10].

Donc, m est dérivable sur cet intervalle et sa dérivée est m'(x) = -\frac{1}{2\sqrt{10-x}}.

EXERCICE 12 :

Parabole

Le taux de variation de f entre -1 et 1 est donné par la formule TV = \frac{f(1) - f(-1)}{1 - (-1)}.

D’après le graphique, on a f(-1) ≈ -6 et f(1) \approx 2.

Donc, le taux de variation de f entre -1 et 1 est TV \approx \frac{2-(-6)}{2} = 4.

EXERCICE 13 :

On peut écrire l’égalité sous la forme : \frac{f(-7+h)-f(-7)}{h} - \frac{15}{3}h = 4h.

En simplifiant, on obtient : \frac{f(-7+h)-f(-7)}{h} = 4h + 5h.

Donc, le taux de variation de f entre -7 et -7+h est TV = 9.

Comme ce taux ne dépend pas de h, on peut dire que la fonction f est dérivable en -7 et que f'(-7) = 9.

EXERCICE 14 :

En faisant tendre x vers 3 dans l’équation \frac{g(x) - g(3)}{x-3} = 2x+3, on trouve 2g'(3) + 3 = 9,

donc g'(3) = \frac{3}{2}.

Donc la fonction g est dérivable en 3 et g'(3) = \frac{3}{2}.

EXERCICE 15 :

Parabole et tangente

On a g(3) = 6 (coordonnée y du point B).

Comme la tangente en A a pour coefficient directeur -\frac{1}{g'(3)}, on peut écrire : -\frac{1}{g'(3)} = \frac{6-(-13)}{3-(-3)} = \frac{19}{6}.

Donc, g'(3) = -\frac{6}{19}.

EXERCICE 16 :

Parabole

La courbe représentative C_f est reproduite ci-dessous :

Tracer la courbe….

La tangente en 2 a pour équation y = f'(2)(x-2) + f(2) \approx -x + 5, et la tangente en 0 a pour équation y = f'(0)x + f(0) = 2x - 7.

EXERCICE 17 :

Pour les fonctions simples :
– La fonction f est dérivable sur \mathbb{R}, et sa fonction dérivée est f'(x) = 4x^3.
– La fonction g est dérivable sur \mathbb{R}, et sa fonction dérivée est g'(x) = 12x^11.
– La fonction h est dérivable sur \mathbb{R}^{*} (l’ensemble des nombres réels non nuls), et sa fonction dérivée est h'(x) = -\frac{1}{x^{2}}.

Pour les fonctions composées :
– Pour f, on peut identifier u(x) = \frac{1}{x} et v(x) = x.

Les fonctions u et v sont toutes deux dérivables sur R*, et donc la fonction somme f est dérivable sur R*, et sa fonction dérivée est f'(x) = -1/x^2 + 1.
– Pour g, on peut identifier u(x) = -5 et v(x) = \frac{1}{x^2}.

Les fonctions u et v sont toutes deux dérivables sur R* (avec une exception en x=0 pour v), et donc la fonction somme g est dérivable sur R* (avec une exception en x=0), et sa fonction dérivée est g'(x) = \frac{2}{x^3}.
– Pour h, on peut identifier u(x) = x^4 et v(x) = x^2.

Les fonctions u et v sont dérivables sur R, et donc la fonction somme h est dérivable sur R, et sa fonction dérivée est h'(x) = 4x^3 + 2x.

EXERCICE 18 :

Pour les fonctions composées :
– Pour f, on peut identifier u(x) = \frac{1}{x} et v(x) = 9-6x. La fonction u est dérivable sur R* (avec une exception en x=0), et la fonction v est dérivable sur R, donc la fonction produit f est dérivable sur R* (avec une exception en x=0), et sa fonction dérivée est f'(x) = -\frac{9}{x^2} + 6.
– Pour g, on peut identifier u(x) = x^2 et v(x) = \sqrt {x}.

Les fonctions u et v sont dérivables sur [0,+\infty[, donc la fonction produit g est dérivable sur [0,+\infty[, et sa fonction dérivée est g'(x) = 3x^{\frac{3}{2}}.
– Pour h, on peut identifier u(x) = x^5 + x^3 et v(x) = x^2 - 4.

Les fonctions u et v sont dérivables sur R, donc la fonction produit h est dérivable sur R, et sa fonction dérivée est h'(x) = (5x^4 + 3x^2)(x^2 - 4) + 2x(x^5 + x^3 - 4).

EXERCICE 19 :

1. On peut écrire f(x) = (2x+8)^{-1}. On résout l’équation v(x) = 2x+8 = 0, ce qui donne x = -4. Donc v(x) s’annule en -4.

2. Le théorème de la dérivée de l’inverse d’une fonction affirme que si f est une fonction dérivable sur un intervalle I et à valeurs dans un intervalle J, alors si g est l’inverse de f, c’est-à-dire une fonction qui vérifie f(g(x)) = x pour tout x de J, alors g est dérivable sur J et sa dérivée est donnée par la formule : g'(x)= \frac{1}{f'(g(x))}.
Ici, la fonction f est dérivable sur I et à valeurs dans ]0,+\infty[, donc elle est bijective sur son ensemble de définition et admet une inverse.

On peut déterminer cette inverse en résolvant l’équation y = f(x) en x :

on a f(x) = y équivaut à (2x+8)^{-1} = y, soit 2x+8 = y^{-1}, soit x = \frac{y^{-1}-8}{2}.

Donc l’inverse de f est la fonction g : y \mapsto   \,\frac{y^{-1}-8}{2}.

La dérivée de g en y est donnée par g'(y) = \frac{1}{f'(g(y))}, donc g'(y) = \frac{1}{-2(y^{-1}-8)^2}.

On peut donc exprimer f'(x) en fonction de x en utilisant la formule g'(f(x)) =\frac{ 1}{f'(x)} :

on a f'(x) =\frac{ 1}{g'(f(x))} = -2(2x+8)^2.

Donc f est dérivable sur I et sa dérivée est f'(x) = -2(2x+8)^2.

EXERCICE 20 :

1. On peut écrire h(x) = g(f(x))g(x) = \sqrt{x} et f(x) = -3x+12. Donc g est définie sur [0,+\infty[ et f est dérivable sur I, donc h est définie et dérivable sur I.

2. En utilisant la formule de la dérivée d’une fonction composée, on a h'(x) = g'(f(x)) \times   f'(x)g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} et f'(x) = -3.

Donc h'(x) = -\frac{3}{2\sqrt{-3x+12}}.

3. On a f'(x) = -3 et g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} pour tout x strictement positif.

4. On a donc h'(x) = -\frac{3}{2\sqrt {-3x+12} }.

EXERCICE 21 :

Courbe et tangente

1. Graphiquement, on lit les pentes des tangentes en 0, 1 et 3 sur le graphe de f : la pente en 0 est nulle, la pente en 1 est négative et la pente en 3 est positive.

2. La tangente en C a pour coefficient directeur la dérivée en 3, soit f'(3) = 7. On utilise ensuite l’équation de la tangente en C : y - f(3) = f'(3)(x-3).

On a f(3) = 11 et donc l’équation réduite de la tangente en C est y = 7x - 10.

3. On calcule f'(x) en dérivant f(x) terme à terme : f'(x) = 3x^2 - 8x + 2.

On trouve f'(0) = 2, f'(1) = -3 et f'(3) = 7.

On peut vérifier que ces valeurs correspondent bien aux pentes des tangentes trouvées graphiquement. On peut également retrouver l’équation de la tangente en C en utilisant cette dérivée : f'(3) = 7 et f(3) = 11, donc l’équation réduite de la tangente en C est y - 11 = 7(x - 3), soit y = 7x - 10.

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