وظيفة محدبة: دورة رياضيات السنة النهائية للتحميل بصيغة PDF.

الوظيفة المحدبة هي فصل أساسي يجب أن يفهمه الطالب. سيسمح له ذلك بالتقدم بشكل جيد في الرياضيات.

I. تحدب وظيفة

1. القاطع لممثل المنحنى للدالة.

تعريف :

اسمحوا و أن تكون وظيفة وC_f منحنى تمثيلي لها في المعيار.
لنفترض أن A و B هما نقطتان منC_f ثم الخط (AB) قاطع منC_f .

تحدب الدورة النهائية 3

2- الالتفاف والتقعر.

تعريفات:

اسمحوا و أن تكون وظيفة وC_f منحنى تمثيلي لها في مرجع متعامد للطائرة.

يقال ان :

  1. f محدب على فاصل زمني I إذا ، لأي x حقيقي من I ،C_f أقل من قاطعها.
  2. f مقعرة على فاصل زمني I إذا ، لأي x حقيقي من I ،C_f فوق قطعانها.

3. الوظائف المعتادة.

ملكية :

الوظيفةx\,\mapsto  \,\sqrt{x} مقعر.

المهامx\,\mapsto  \,x^2 وx\,\mapsto  \,e^x محدبة.
الوظيفةx\,\mapsto  \,\frac{1}{x} محدب\mathbb{R} .

مثال :
لنفترض أن الدالة f هي الدالة العكسية المحددة في\mathbb{R}^* بواسطةf(x)=\frac{1}{x} وC_f منحنى تمثيلي لها
في العلامة أدناه.

وظيفة عكسية
لذا فإن المقطع[CD] فوق منحنىC_f بالنسبة إلى x موجب تمامًا ، لذا فإن f هي
محدب على\mathbb{R}^{+*} والجزء[AB] تحت المنحنىC_f من أجل x سالب تمامًا
لذلك f مقعر\mathbb{R}^{-*} .

4. الموقف بالنسبة للقطعان.

ملكية :

• إذا كانت f دالة محدبة في فترة I ثم لكل الأعداد الحقيقية x و y من I وللجميعt\in%5B0;1%5D ، لدينا :
f(tx+\,(1\,-\,t)y)\,\leq\,\,tf(x)+\,(1\,-\,t)f(y)
• إذا كانت f دالة مقعرة على فاصل زمني I إذن لجميع القيم الحقيقية x و y من I ولكل tt\in%5B0;1%5D ، لدينا :
f(tx+\,(1\,-\,t)y)\,\geq\,\,tf(x)+\,(1\,-\,t)f(y)

برهان :
لنفترض أن x و y هما رقمان حقيقيان ودعناt\in%5B0;1%5D .

أيضاًA(x;f(x)) وB(y;f(y)) ؛ لذا فإن النقطة
M(tx+(1-t)y;tf(x)+(1-t)f(y)) ينتمي إلى الجزء[AB] ، قاطع منC_f .

لكونه محدبًا ، يقع هذا القاطع أعلاهC_f .
لذلك يقع M فوقM(tx+(1-t)y;f(tx+(1-t)y)) .
من اينf(tx+(1-t)y)\leq\,\,tf(x)+(1-t)f(y) .

تحدب الدورة النهائية 2

تعليق :

إذا كانت المتباينات السابقة صارمة ، فسنقول أن الدالة f محدبة تمامًا أو دالة مقعرة تمامًا في l.

الخاصية: التقعر.

f هو محدب إذا وفقط إذا-\,f مقعر.

مثال :

دع وظيفة fla يتم تعريفها على\mathbb{R} بواسطةf(x)=-e^x .

الوظيفةx\,\mapsto  \,e^x محدب ، لذلكf:x\,\mapsto  \,-e^x مقعر.

تحدب الدورة النهائية 1

ثانيًا. دالة محدبة والمشتقات الأولى والثانية

1. وظيفة محدب وظيفة مقعرة.

النظرية:

اسمحوا لي أن أكون فترة زمنية حقيقية.
لنفترض أن f دالة قابلة للتفاضل مرتين في I وf' وظيفتها المشتقة.

  • f محدب على l ، إذا وفقط إذا ، لكل x الحقيقي لـ l ،f' بازدياد.
  • f مقعر على l ، إذا وفقط إذا ، بالنسبة لجميع x الحقيقي لـ l ،f' يتناقص.

مثال :
دع f تكون الوظيفة محددة وقابلة للتفاضل في\mathbb{R} .
لقد وضعنا جدول الاختلافات في الوظيفةf' .

تحدب الدورة النهائية 4
ثم f مقعر في%5D-\infty\,;\,3%5D ومحدب على%5B3;+\infty\,%5B .

2- دالة المشتقة الثانية.

تعريف :

لنفترض أن f دالة من المفترض أن تكون قابلة للاشتقاق مرتين على I وf' وظيفتها المشتقة.
نسمي المشتق الثاني للدالة f ، المشار إليهاf'' ، مشتق منf' .

مثال :
دع f تكون الوظيفة محددة (وقابلة للتفاضل مرتين) في\mathbb{R} بالتعبير f(x)=x^3+4x^2+5x+1
ثمf'(x)=3x^2+8x+5 وf''(x)=6x+8 .

ملاحظات :

  1. دائمًا ما يكون المشتق الثاني للدالة الأفينية صفرًا.
  2. الدالة الأسية تساوي مشتقها ، لذلك مشتقها الثاني أيضًا.

3. التحدب والمشتق الثاني.

النظرية:

لنفترض أن الدالة f قابلة للاشتقاق مرتين وf' وظيفتها المشتقة.

  1. f محدب على I إذا وفقط إذا ، لأي x حقيقي من l ،f'' هو إيجابي.
  2. f مقعر فوق I إذا وفقط إذا ، لأي x حقيقي من l ،f'' سلبي.

برهان :

f ‘تتزايد (تتناقص على التوالي) إذا وفقط إذا كانت كذلكf'' موجب (ارتباطات سلبية).
لذا فإن f محدب (على التوالي مقعر) إذا وفقط إذاf'' موجب (ارتباطات سلبية).

ثالثا. الظل ونقطة الانعطاف

1. المشتق الثاني والظل.

ملكية :

لنفترض أن f دالة من المفترض أن تكون قابلة للاشتقاق مرتين على I بالمشتق الثانيf'' .

سواءf'' موجب على I ، ثم يكون المنحنى التمثيلي لـ f فوق مماساته.

شهادة :

أيضاً\phi الوظيفة المحددة على I بالفرق بين الوظيفة وظلها.
\phi(x)=f(x)-(f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0))=f(x)-f'(x_0)x+f'(x_0)x_0-f(x_0).
ثم\phi قابلة للتفاضل كمجموع وظائف قابلة للتفاضل ، ومن خلال ملاحظة\phi' مشتقها ، نحصل على:

\phi'(x)=f'(x)-f'(x_0)+0-0=f'(x)-f'(x_0).

ذهبf'' هو إيجابي جداf' بازدياد. من اين :
سواءx\geq\,\,x_0 ثمf'(x)\geq\,\,f'(x_0) لذا\phi'(x)\geq\,\,0 .
سواءx\leq\,\,x_0 ثمf'(x)\leq\,\,f'(x_0) لذا\phi'(x)\leq\,\,0 .
علاوة على ذلك، \phi(x_0)\,=\,f(x_0)-f'(x_0)x_0\,+\,f'(x_0)x_0\,-f(x_0)=0

نحصل على جدول الاختلافات أدناه.

تحدب الدورة النهائية 5

لذلك ، لأي س حقيقي من أنا ،\phi(x)\geq\,\,0 لذاf(x)\geq\,\,f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0) بمعنى آخر ، يكون المنحنى التمثيلي لـ f أعلى من ظلها.

خاتمة :

سواءf'' موجب ، ثم يكون المنحنى التمثيلي لـ f فوق مماساته.

ملاحظات :

  1. سواءf'' سلبي على I ثم يكون المنحنى التمثيلي لـ f أقل من مماساته.
  2. احذر من العكس ، فالدالة المحدبة ليست بالضرورة قابلة للاشتقاق مرتين.

2. نقطة انعطاف عند منحنى ممثل دالة.

تعريف :

لنفترض أن f دالة قابلة للتفاضل مرتين في الفاصل الزمني I وC_f منحنى تمثيلي لها خلال هذه الفترة
في مرجع متعامد للطائرة.
دع “أ” يكون نقطةC_f وT_A الظلC_f عند النقطة أ.
نقول أن أ هي نقطة انعطاف لـC_f إذا كان المنحنى عند النقطة أC_f الصلبانT_A .

مثال :
دع f تكون الدالة التكعيبية وC_f منحنى تمثيلي لها في المعيار.

إذن أصل العلامةO(0\,;\,0) هي نقطة انعطاف لC_f .

من ناحية أخرى ، لا تعبر الظلال في -1 وفي 1 منحنى الإحداثيات(-1;f(-1)) و(1;f(1)) لذلك فهي ليست نقاط انعطاف.

تحدب الدورة النهائية 6

ملكية :

من الضروري أن تكون هناك نقطة انعطافf'' علامة التغييرات بحيثf' تغيير الاختلاف.

مثال :

سواءf(x)=x^3 ثمf'(x)=3x^2 وf''(x)=6x .
لذاf''(x)\geq\,\,0\Leftrightarrow\,x\geq\,\,0 وf''(x)\leq\,\,0\Leftrightarrow\,x\leq\,\,0 .

هناك تغيير في إشارة المشتق الثاني ، لذلك تغير f التحدب ، لذلك يوجد فيO(0\,;\,0) نقطة انعطاف.

Cette publication est également disponible en : English (الإنجليزية) Français (الفرنسية)

Télécharger puis imprimer cette fiche en PDF

Télécharger ou imprimer cette fiche «وظيفة محدبة: دورة رياضيات السنة النهائية للتحميل بصيغة PDF.» au format PDF afin de pouvoir travailler en totale autonomie.


D'autres fiches dans la section فئة الرياضيات للصف الثاني عشر




Télécharger nos applications gratuites Mathématiques Web avec tous les cours,exercices corrigés.

Application Mathématiques Web sur Google Play Store.    Application Mathématiques Web sur Apple Store.    Suivez-nous sur YouTube.


D'autres articles analogues à وظيفة محدبة: دورة رياضيات السنة النهائية للتحميل بصيغة PDF.


  • 83
    حدود الوظائف والعمليات على الحدود: دورة الرياضيات في السنة النهائية.حدود الوظيفة مهمة جدًا لفهمها. تلخص الجداول أدناه النتائج التي يجب أن تكون على دراية بها. هذه الجداول صالحة في المواقف الثلاثة التي تمت دراستها: عندما يكون المتغير . عندما يكون المتغير . عندما يكون المتغير حيث لديها تم العثور على R. لكن من نافلة القول أنه بالنسبة للوظيفتين f…
  • 82
    التكاملات والأوليات: درس رياضيات السنة النهائية بصيغة PDF.التكاملات والأوليات مع دورة الرياضيات في المحطة الطرفية للتنزيل مجانًا بتنسيق PDF. سنرى في هذا الدرس التعريف والخصائص المختلفة للتكامل وكذلك المعنى الهندسي مع المناطق. أيضًا ، في هذه الدورة ، سترى الطرق المختلفة لحساب التكامل باستخدام المشتق العكسي وخصائص الترابط والخطية للتكامل. بالإضافة إلى ذلك ، يجب إتقان التكاملات…
  • 80
    حدود التسلسلات والوظائف: درس الرياضيات في Terminal في PDFإن حدود المتتاليات والوظائف في المحطة مهمة جدًا في الرياضيات. بالإضافة إلى ذلك ، هذا يتطلب ممارسة منتظمة لتمارين مختلفة في الفصل. أيضًا ، مع دورة الرياضيات للصف الثاني عشر للتنزيل مجانًا بتنسيق PDF ، ستكون أكثر راحة. بالإضافة إلى ذلك ، تعد الدراسة المقارنة لتسلسل الأرقام والوظائف ضرورية لطلاب…
Les dernières fiches mises à jour

Voici la liste des derniers cours et exercices ajoutés au site ou mis à jour et similaire à وظيفة محدبة: دورة رياضيات السنة النهائية للتحميل بصيغة PDF. .

  1. Fonctions et limites : exercices de maths en terminale corrigés en PDF.
  2. الوظائف المعتادة: دورة الرياضيات في المركز الثاني للتحميل بصيغة PDF.
  3. Usual functions : maths course in 2nd grade to download in PDF.
  4. Fonctions usuelles : cours de maths en 2de à télécharger en PDF.
  5. الوظائف: تمارين الرياضيات في الصف الثالث مصححة بصيغة PDF.


Inscription gratuite à Mathématiques Web. Mathématiques Web c'est 2 145 936 fiches de cours et d'exercices téléchargées.

Copyright © 2008 - 2023 Mathématiques Web Tous droits réservés | Mentions légales | Signaler une Erreur | Contact

.
Scroll to Top
Mathématiques Web

مجانى
عرض