منتج النقطة: تمارين الرياضيات في الصف الأول مصححة بتنسيق PDF.

تمارين الرياضيات المصححة أولاً على المنتج العددي في المستوى .

سوف تجد في هذه التمارين على المنتج العددي المفاهيم التالية:

تعريف المنتج العددي ؛
ثنائية الخطية للمنتج العددي ؛
تناظر المنتج النقطي ؛
هوية متوازي الأضلاع
المنتج النقطي والمتجهات المتعامدة ؛
المعادلات الديكارتية والبارامترية.

حاصل الضرب النقطي في المستوى هو أداة تستخدم لقياس الزاوية بين متجهين. يتم تعريفه على أنه ناتج معيار (أو طول) متجهين وجيب الزاوية بينهما.

Bilinearity هي خاصية دالة تسمح بتحلل الدالة إلى منتجين خطيين.

التمرين 1 :

ضع في اعتبارك المربع ABCD مع المركز O والجانب 8.

احسب المنتجات العددية التالية.

$a)\vec{AB}.\vec{AO}$ $b)\vec{OB}.\vec{OD}$

$c)\vec{AB}.\vec{AD}$ $d)\vec{BO}.\vec{BC}$

تمرين 2:

نحن نعتبر النواقل $\vec{u}$ و $\vec{v}$ مثل $\%7C\vec{u}\%7C=2$ و $\%7C\vec{v}\%7C=3$ و $\widehat{(\vec{u},,\vec{v})}=60^{\circ}$ .

احسب حاصل الضرب النقطي.

التمرين 3:

حدد قيمة الزاوية بين المتجهين بالدرجات $\vec{u}$ و $\vec{v}$ مثل $\%7C\vec{u}\%7C=6$ و $\%7C\vec{v}\%7C=2$ و $\vec{u}.\vec{v},=-6$ .

التمرين 4:

دع النواقل $\vec{u},(-2;3,)$ و $\vec{v}(-1;-5)$ .

احسب:

$a)\vec{u}.\vec{v}$ $b)(4\vec{u}).\vec{v}$ $c)(\vec{u}-\vec{v}).(\vec{u}+\vec{v})$

التمرين 5:

نعطي النقطتين A (-3 ؛ -2) و B (1 ؛ 3) والمتجه $\vec{u}(,-5;4,)$ .

تبين أن $\vec{AB}$ و $\vec{u}$ متعامدة.

التمرين 6:

تمثل A و B و C و D أي نقاط من المستوى ، وتظهر المساواة التالية.

$a)\vec{AB}.\vec{CD}=\vec{BA}.\vec{DC}$ .

$b)\vec{AB}.\vec{AC}+\vec{AB}.\vec{EC}=\vec{AB}.\vec{ED}$

$c)\vec{AB}.\vec{AC}=\vec{AB}^2-\vec{BA}.\vec{BC}$

التمرين 7:

نعطي النقطتين C و D بحيث يكون CD = 10 و H في منتصف المقطع[CD] .

أوجد مجموعة النقاط M للمستوى المُرضي $\vec{MC}.\vec{MD}=-9$ .

التمرين 8:

في مستطيل ABCD بطول 8 وعرض 4 ، نضع النقاط E و F و G على النحو التالي:

$\vec{AE}=\frac{1}{4}\vec{AD};\vec{AG}=\frac{1}{8}\vec{AB};\vec{CF}=\frac{1}{4}\vec{CB}$ .

1. في الإطار (A ، G ، E) ، أعط إحداثيات جميع نقاط الشكل.

2. احسب حاصل الضرب القياسي $\vec{EF}.\vec{DG}$ .

3. ماذا يمكن أن نستنتج من هذا؟

التمرين 9:

ABCD عبارة عن مستطيل بمركز F و E هو صورة معكوسة للنقطة F بالنسبة للخط
(قبل الميلاد). احسب حاصل الضرب النقطي التالي.

$a)\vec{BA}.\vec{BF}\,;b)\vec{CF}.\vec{CD}\,;c)\vec{AF}.\vec{AB}\,;d)\vec{AB}.\vec{BE}$

التمرين 10:

دع النواقل $\vec{u}(2;1)$ و $\vec{v}(-3;-1)$ و $\vec{w}(1;4)$ .

احسب حاصل الضرب النقطي التالي.

$a)\vec{u}.\vec{v}\\b)\vec{w}.\vec{v}\\c)\vec{u}.(\vec{v}+\vec{w})\\d)(-2\vec{u}).\vec{v}+3(\vec{v}.\vec{w})$

التمرين 11:

نعطي النواقل $\vec{u}(-3;4)$ و $\vec{v}(-8;-6)$ .

أظهر أن هذه النواقل متعامدة.

التمرين 12:

أعط متجه اتجاه لكل من الخطوط التالية واستنتج أنها متعامدة.
أ) بالنسبة للخطين d1 و d2 مع المعادلات الديكارتية 2x-3y + 4 = 0 و 3x + 2y-1 = 0.
ب) للخطين d1 و d2 مع المعادلات الديكارتية x-y + 3 = 0 و 2x + 2y-1 = 0.
ج) بالنسبة للخطين d1 و d2 مع المعادلتين y = -3x + 1 و -x + 3y-1 = 0.

التمرين 13:

دع النواقل $\vec{u}(-2;3)$ و $\vec{v}(-1;-5)$ .

احسب:

$a)\vec{u}.\vec{v}\\b)(4\vec{u}).\vec{v}\\c)(\vec{u}-\vec{v}).(\vec{u}+\vec{v})$

التمرين 14:

دع النواقل $\vec{u}(-3;4)$ و $\vec{v}(-8;-6)$ .

أظهر أن هذه النواقل متعامدة.

2. نعطي النقطتين A (-3 ؛ -2) و B (1 ؛ 3) والمتجه $\vec{u}(-5;4)$ .

تبين أن $\vec{AB}$ و $\vec{u}$ متعامدة.

التمرين 15:

نعتبر النقاط A و B و C بحيث AB = 3 و AC = 4 و $\widehat{BAC}$ = 120 درجة.

أوجد الطول BC.
2. نعتبر النقاط M و N و P مثل MN = 5 و NP = 7 و MNP = 61 درجة.

حدد الطول MP.
3. اعتبر المثلث EFG مثل EF = 7 و FG = 6 و EG = 11.
أوجد القيمة بالدرجات وتقريب الزاوية بمقدار 0.1 درجة $\widehat{EFG}$ .
4. ضع في اعتبارك مثلث EDF بحيث يكون EF = 5 و DF = 8 و ED = 9.
أوجد القيمة بالدرجات وتقريب الزاوية بمقدار 0.1 درجة $\widehat{EDF}$ .

التمرين 16:

كن النواقل $\vec{u}$ و $\vec{v}$ متعامد وذاك $\,\%7C\vec{u}\,\,\%7C=a$ و $\,\%7C\vec{v}\,\,\%7C=b$ .

عبر بدلالة أ و ب عن المنتجات العددية التالية.

$a)\vec{u}.(\vec{u}+\vec{v})\\b)(2\vec{u}-3\vec{v}).\vec{v}\\c)(\vec{u}+\vec{v})^2$

التمرين 17:

دع النواقل $\vec{u}$ ؛ $\vec{v}$ و $\vec{w}$ مثل : $\,\%7C\,\vec{u\,}\,\%7C=\%7C\vec{w\,}\,\,\%7C=a$ و $\vec{v}=3\vec{u}$ .

ثلاثة أبعاد $\vec{u}$ و $\vec{w}$ متعامدة.

التعبير عن المنتجات العددية التالية.

$a)\vec{u}.\vec{v}\\b)\vec{v}.(\vec{u}+\vec{w})\\c)(\vec{u}+\vec{v})^2\\d)(\vec{v}+\vec{w}).(\vec{u}+\vec{w})$

التمرين 18:

تمثل A و B و C و D أي نقاط من المستوى ، وتظهر المساواة التالية.
$a)\vec{AB}.\vec{CD}\,=\,BA.\vec{DC}\\b)\vec{AB}.\vec{CD}+\vec{AB}.\vec{EC}=\vec{AB}.\vec{ED}\\\,c)\vec{AB}\,.\vec{AC}=\vec{AB}\,-\vec{BA\,}-\vec{BC}$

التمرين 19:

1- نعطي النقطتين A و B بحيث يكون AB = 12 وأنا في منتصف القطعة[AB] .

أوجد مجموعة النقاط M للمستوى المُرضي $\vec{MA}\,.\vec{MB}\,=\,4$ .

2- نعطي النقطتين C و D بحيث يكون CD = 10 و H في منتصف المقطع[CD] . أوجد مجموعة النقاط M للمستوى المُرضي $\vec{MC}.\vec{MD\,}=\,-\,9$ .

التمرين 20:

النظر في شبه منحرف مستطيل ABCD مثل هذا القطر[AC] عمودي على الجانب[BC] . عن طريق حساب المنتج القياسي بطريقتين $\vec{AB}.\vec{\,AC}$ ، اظهر
ان $AC^2\,=\,AB\times \,CD$ .

التمرين 21:

نحن نعتبر مربعين ABCD و BEFG مرتبة كما في الشكل
أدناه مثل AB = 1 و BE = a.

أ. مع تفاصيل الاتصال
1. في الإطار (أ ، ب ، د) ، أعط إحداثيات جميع نقاط الشكل.
2. إثبات أن الخطين (AG) و (CE) متعامدين.

ب دون تفاصيل الاتصال
1. قم بتوسيع المنتج النقطي $(\vec{AB}\,+\,\vec{BG}).\,(\vec{CB}\,+\,\vec{BE})$ .
2. استنتج ذلك $\vec{AG}\,.\vec{CE}\,=\,0$ ثم أن الخطين (AG) و (CE) متعامدين.

التمرين 22:

ABCD هو مربع من الضلع a و AEFG هو مربع من الضلع b مع محاذاة D و A و G ، وكذلك B و A و E كما في الشكل أدناه.

النقطة I هي نقطة المنتصف للجزء[DE] .

أ. بدون تفاصيل الاتصال
1. برر أن AD + AE = 2Al.
2. قم بتوسيع المنتج النقطي (AD + AE). (BA + AG).
3. استنتج أن الخطوط (AI) و (BG) متعامدة.

ب. مع تفاصيل الاتصال
1. في نظام الإحداثيات (A ، B ، D) أعط إحداثيات النقاط A و I و B و G.
2. استنتج أن الخطوط (AI) و (BG) متعامدة.

التمرين 23:

ضع في اعتبارك مربع ABCD من الضلع 1 وأي نقطة M على المقطع[BD] . نقوم ببناء الإسقاطات المتعامدة H و K للنقطة M على التوالي
الشواطىء[AB] و[AD] .

1. نريد أن نبين أن الخطين (CK) و (DH) متعامدين بطريقتين:
أ) سنستخدم نظام الإحداثيات (أ ؛ ب ، د) وسنلاحظ (س ؛ ص) إحداثيات النقطة M.
ب) سنحسب المنتج القياسي: $\vec{CK}.\vec{DH}$ عن طريق تحليل المتجهات باستخدام علاقة Chasles.
2. أثبت أن الطول CK و DH متساويان:
أ) مع الإحداثيات.
ب) بدون تفاصيل الاتصال.

Cette publication est également disponible en : English (الإنجليزية) Français (الفرنسية)

منتج النقطة: تمارين الرياضيات في الصف الأول مصححة بتنسيق PDF.

D'autres fiches dans la section تمارين الرياضيات للصف الأول

D'autres articles analogues à منتج النقطة: تمارين الرياضيات في الصف الأول مصححة بتنسيق PDF.